Secciones Conicas

domingo, 7 de junio de 2015

ELIGE UN TEMA

Tema I (Circunferencia, Elipse)

Tema II (Parábola, Hipérbola)

Tema III (Factoriales, Teoría Combinatoria)

sábado, 6 de junio de 2015

PARABOLA

En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Propiedades Geométricas

Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto T cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la recta directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Lado Recto

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.

Semejanza de todas las parábolas

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad $e=1$ . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triánguloFPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.

Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Aplicaciones Practicas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

HIPERBOLA

Explicación Hipérbola (VIDEO)

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Elementos de la Hipérbola

Eje mayor o real

El eje mayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular al eje imaginario

Eje menor o imaginario

El eje menor o imaginario no tiene puntos en común con la hipérbola. Sin embargo, siempre se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas.

Asíntotas

Son las rectas r y r' que pasan por el centro de la hipérbola y verifican que se acercan ramas de la misma tanto más cuanto más nos alejamos del centro de la hipérbola.

Las ecuaciones de las asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a x

Vértices

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.

Focos

Son dos puntos,

F_1 \,y\, F_2

, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto,

x

, de dicha hipérbola.

\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=cte

Centro

Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Ecuaciones Parametricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

\begin{matrix} x = a\sec t + h \\ y = b\tan t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = \pm a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix}

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

\begin{matrix} x = a\tan t + h \\ y = b\sec t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = a\sinh t + h \\ y = \pm b\cosh t + k \\ \end{matrix}

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

miércoles, 3 de junio de 2015

Tema I (Circunferencia, Elipse)

CIRCUNFERENCIA

Explicación Circunferencia (VIDEO)

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro. Resultado de la observación plurimilenaria de las circunferencias concéntricas al arrojar una piedra sobre un espejo de agua o el borde de una fruta- naranja, limón, guayaba, etc, cortada perpendicularmente a su eje de suspensión. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. La circunferencia sólo posee longitud. Respecto al círculo no es sino una parte de tal figura; i.e. los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio; es decir, la circunferencia es la frontera del círculo y los demás son el interior de este puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio. La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.

Ángulos en una circunferencia

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

ELIPSE

Explicación Elipse (VIDEO)

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también laimagen afin de una circunferencia

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y el semieje menor (el segmento C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier puntoP de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F₁ yF₂ a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF₁ (color azul) y PF₂ (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF₁ + PF₂ = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

martes, 2 de junio de 2015

Tema III (Factoriales, Teoría Combinatoria)