CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es
una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del
centro. Resultado de la observación plurimilenaria de las circunferencias
concéntricas al arrojar una piedra sobre un espejo de agua o el borde de una
fruta- naranja, limón, guayaba, etc, cortada perpendicularmente a su eje de
suspensión. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro
punto fijo y coplanario llamado centro en una
cantidad constante llamada radio. La circunferencia
sólo posee longitud.
Respecto al círculo no
es sino una parte de tal figura; i.e. los puntos de la circunferencia están a
una distancia igual al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio;
es decir, la circunferencia es la frontera del
círculo y los demás son el interior de este puede ser considerada
como una elipse de excentricidad nula,
o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden o bien fuera una
elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como
la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,
o como un polígono regular de
infinitos lados, cuya apotema coincide
con su radio. La intersección de un
plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano
exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si
el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador.
Ángulos en una circunferencia
- Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
- Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
- Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
- Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
- Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
- Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
ELIPSE
Explicación Elipse (VIDEO)
La elipse es
una línea curva, cerrada y plana cuya definición más
usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la
suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la
superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con
ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera
un esferoide achatado,
mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un
esferoide alargado. La elipse es también laimagen afin de una circunferencia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo,
investigada por Euclides, y su
nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo.
El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por
Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se
trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la
palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su
nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.
La elipse
es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares
entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la
figura), y el semieje menor (el segmento C-b de la
figura). Miden la
mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
Los focos de
la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en
el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier puntoP de
la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro
mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por
comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
Ejes de una elipse
El eje
mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse.
El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es
constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor
distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse
son perpendiculares entre
sí.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una
elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que
parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la
letra c, y su
semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
La
excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada
cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la
excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe
usar la letra e para
designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o
neperianos. Véase: número e).
Constante de la elipse
En la
figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes
a cada punto P de una elipse, los vectores que
van de los focos F1 yF2 a P.
Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color
azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se
ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como
establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos
los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos
radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del
eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la
elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto
selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
Cada
foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al
semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La
distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el
foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular
de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
La
relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la
elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa
de la elipse.
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